Warum reichen vier Seitenlängen nicht?
Bei einem rechteckigen Grundstück ist die Fläche Länge × Breite. Sind die Ecken aber nicht rechtwinklig, legen die vier Seitenlängen die Fläche nicht fest: Die Seiten bleiben gleich, während sich die Eckwinkel ändern können, und mit ihnen ändert sich die Fläche. Bei den beiden Figuren unten sind alle vier Seiten 20 m lang; die eine hat 400 m², die andere etwa 346 m².
Deshalb musst du bei einem viereckigen Grundstück zusätzlich zu den vier Seiten eine Diagonale (den Abstand zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken) oder die Lage der Ecken kennen. Je mehr Ecken, desto mehr Längen musst du messen.
Methode 1: Mit der Diagonale in Dreiecke teilen (Heronsche Formel)
Die Fläche eines Dreiecks mit drei bekannten Seiten ist eindeutig. Teilst du das Grundstück mit einer Diagonale in zwei Dreiecke, berechnest du die Fläche jedes Dreiecks aus seinen Seiten und addierst sie dann. Unser Beispielgrundstück ist ABCD; die Seiten und die Diagonale AC wurden mit dem Maßband gemessen.
Die Heronsche Formel (Satz des Heron) liefert die Dreiecksfläche aus den drei Seiten: Berechne zuerst den halben Umfang, s = (a + b + c) ÷ 2. Fläche = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c)).
| Dreieck und Seiten | Halber Umfang (s) | Fläche |
|---|---|---|
| ABC24,00 · 18,44 · 26,91 m | 34,675 m | ≈ 216,0 m² |
| ACD26,91 · 18,25 · 15,13 m | 30,145 m | ≈ 132,0 m² |
| Grundstück | ≈ 348,0 m² | |
Dreieck ABC ausgeschrieben: √(34,675 × 10,675 × 16,235 × 7,765) ≈ 216,0 m². Bei einem Grundstück mit fünf oder mehr Ecken gehst du genauso vor: Ziehe von einer Ecke aus Diagonalen zu allen gegenüberliegenden Ecken; ein Grundstück mit n Ecken wird in n − 2 Dreiecke geteilt. Hat das Grundstück eine nach innen gerichtete Ecke, wähle die Diagonalen so, dass sie innerhalb des Grundstücks verlaufen.
Methode 2: Eckkoordinaten (Gaußsche Trapezformel)
Kennst du die Lage der Ecken aus einer Karte, einem Messprotokoll oder durch Messen mit einer Ecke als Ausgangspunkt, gibt es einen kürzeren Weg. Schreibe die Ecken entlang des Grundstücksumfangs der Reihe nach auf (im oder gegen den Uhrzeigersinn, aber ohne eine auszulassen). Multipliziere in jeder Zeile das x dieser Ecke mit dem y der nächsten Ecke und ziehe das Produkt aus dem x der nächsten Ecke und dem y dieser Ecke ab. Das ist die „Produktdifferenz“. Addiere die Zeilen (hier 696); die Hälfte des Betrags ist die Fläche. Diese Methode heißt Gaußsche Trapezformel (auch Gaußsche Flächenformel), auf Englisch „shoelace formula“ (Schnürsenkelformel).
| Ecken | x (m) | y (m) | Produktdifferenz |
|---|---|---|---|
| A | 0 | 0 | 0 × 0 − 24 × 0 = 0 |
| B | 24 | 0 | 24 × 18 − 20 × 0 = 432 |
| C | 20 | 18 | 20 × 15 − 2 × 18 = 264 |
| D | 2 | 15 | 2 × 0 − 0 × 15 = 0 |
| Gesamt | 696 ÷ 2 = 348 m² | ||
Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis; der kleine Unterschied entsteht nur durch das Runden der Maße auf Zentimeter. Die Koordinatenmethode funktioniert bei jeder Eckenzahl mit derselben Tabelle; einzige Bedingung: Die Grenzlinien dürfen sich nicht schneiden.
Trapezförmiges Grundstück: wenn zwei Seiten parallel sind
In der Geometrie ist ein Trapez ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Sind die Straßenseite und die hintere Grenze parallel, geht es kürzer: Addiere die beiden parallelen Seiten, teile durch zwei und multipliziere mit dem senkrechten Abstand zwischen ihnen.
Die Höhe ist hier nicht die Länge der Seitenkante, sondern der senkrechte Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten. Ist die Seitenkante schräg, ist die Höhe kürzer als sie.
Worauf solltest du beim Messen achten?
- Eckpunkte markieren: Grenzstein, Mauerecke oder Pflock. Miss jede Länge zwischen denselben zwei Punkten.
- Diagonale nicht vergessen: bei vier Ecken mindestens eine Diagonale, bei mehr Ecken von einer Ecke zu allen gegenüberliegenden Ecken.
- Maßband gerade und straff halten: Ein durchhängendes Band zeigt die Länge zu groß an; miss lange Seiten in Abschnitten über Zwischenpunkte.
- Hanglage: Die Fläche in Karten und amtlichen Registern wird in der Regel in der horizontalen Ebene berechnet. Legst du das Band entlang des Hangs auf den Boden, fallen die Seiten etwas zu lang aus; halte das Band waagerecht.
- Kontrollieren: Miss auch die zweite Diagonale und vergleiche beide Methoden. Ist der Unterschied groß, ist ein Maß falsch.
Grundstücksfläche in Nodaform
Im Schritt „Grundstück“ von Nodaform zeichnest du das Grundstück Ecke für Ecke; Fläche und Umfang werden automatisch aus den Ecken berechnet.
- Ecken der Reihe nach anklicken: Die Ecken rasten am Raster ein, Shift sperrt den Winkel, und du kannst die Seitenlänge eintippen. Ein Klick auf die erste Ecke schließt das Grundstück.
- Korrigieren: Ziehe die Ecken, füge über den Punkt in der Mitte einer Seite eine neue Ecke hinzu; vergleiche die Seitenlängen im Panel mit deinen eigenen Maßen.
- Im Panel: Eckenzahl, Umfang, Länge jeder Seite und Grundstücksfläche; sobald du das Haus zeichnest, auch der Bebauungsgrad. Die Abstände vom Haus zur Grundstücksgrenze werden auf dem Plan angezeigt.
Drehst du das Handy quer, kannst du die Ecken auch per Fingertipp setzen. Der Schritt „Grundstück“ ist in allen Tarifen verfügbar, auch in Free.
Dieser Beitrag dient der allgemeinen Information. Bei Kauf, Verkauf, Grundbuch- und Bauangelegenheiten gilt die Fläche im amtlichen Register; für das genaue Maß und die Grenzen des Grundstücks wende dich an einen zugelassenen Vermessungsingenieur oder die zuständige Behörde.