لماذا لا تكفي معرفة الأضلاع الأربعة؟
في الأرض المستطيلة المساحة هي الطول × العرض. لكن إذا لم تكن زوايا الأرض قائمة فإن أطوال الأضلاع الأربعة لا تحدد المساحة: قد تبقى الأضلاع كما هي بينما تتغير الزوايا، فتتغير المساحة معها. الشكلان أدناه أضلاعهما الأربعة كلها 20 m؛ أحدهما 400 m² والآخر نحو 346 m².
لذلك تحتاج في الأرض ذات الزوايا الأربع، إضافةً إلى الأضلاع الأربعة، إلى معرفة قطر واحد (المسافة بين ركنين متقابلين) أو مواقع الزوايا. وكلما زاد عدد الزوايا زادت الأطوال التي يجب قياسها.
الطريقة 1: التقسيم إلى مثلثات بالقطر وصيغة هيرون
المثلث المعلومة أضلاعه الثلاثة له مساحة واحدة فقط. إذا قسمت الأرض بقطر إلى مثلثين، تحسب مساحة كل مثلث من أضلاعه ثم تجمع المساحتين. أرضنا في المثال هي ABCD؛ وقد قيست الأضلاع والقطر AC بشريط القياس.
صيغة هيرون (قانون هيرون) تعطي مساحة المثلث من أضلاعه الثلاثة: أوجد أولًا نصف المحيط، s = (a + b + c) ÷ 2. المساحة = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c)).
| المثلث وأضلاعه | نصف المحيط (s) | المساحة |
|---|---|---|
| ABC24.00 · 18.44 · 26.91 m | 34.675 m | ≈ 216.0 m² |
| ACD26.91 · 18.25 · 15.13 m | 30.145 m | ≈ 132.0 m² |
| الموقع | ≈ 348.0 m² | |
لنكتب المثلث ABC بالتفصيل: √(34.675 × 10.675 × 16.235 × 7.765) ≈ 216.0 m². وفي الأرض ذات خمس زوايا أو أكثر تابع بالطريقة نفسها: ارسم أقطارًا من زاوية واحدة إلى كل الزوايا المقابلة؛ فالأرض ذات n زاوية تنقسم إلى n − 2 مثلثًا. وإذا كانت في الأرض زاوية متجهة إلى الداخل فاختر الأقطار بحيث تمر داخل الأرض.
الطريقة 2: إحداثيات الزوايا (صيغة رباط الحذاء)
إذا كانت مواقع الزوايا معروفة من خريطة أو جدول قياسات أو بالقياس انطلاقًا من زاوية تُتخذ نقطة بداية، فهناك طريق أقصر. اكتب الزوايا بالترتيب على امتداد محيط الأرض (مع اتجاه عقارب الساعة أو عكسه، لكن دون تخطي أي زاوية). في كل سطر اضرب x هذه الزاوية في y الزاوية التالية، واطرح منه حاصل ضرب x الزاوية التالية في y هذه الزاوية. هذا هو «فرق الضرب». اجمع السطور (هنا 696)، ونصف القيمة المطلقة هو المساحة. تُسمى هذه الطريقة صيغة غاوس للمساحة أو بالإنجليزية «shoelace» (صيغة رباط الحذاء).
| الزوايا | x (m) | y (m) | فرق الضرب |
|---|---|---|---|
| A | 0 | 0 | 0 × 0 − 24 × 0 = 0 |
| B | 24 | 0 | 24 × 18 − 20 × 0 = 432 |
| C | 20 | 18 | 20 × 15 − 2 × 18 = 264 |
| D | 2 | 15 | 2 × 0 − 0 × 15 = 0 |
| الإجمالي | 696 ÷ 2 = 348 m² | ||
تعطي الطريقتان النتيجة نفسها؛ والفرق الصغير بينهما يأتي فقط من تقريب القياسات إلى السنتيمتر. تعمل طريقة الإحداثيات بالجدول نفسه مهما كان عدد الزوايا؛ والشرط الوحيد ألا تتقاطع خطوط الحدود.
مساحة أرض على شكل شبه منحرف: إذا كان ضلعان متوازيين
شبه المنحرف في الهندسة رباعي أضلاع فيه ضلعان متوازيان. إذا كانت الواجهة الأمامية المطلة على الطريق موازية للحد الخلفي فهناك طريق مختصر: اجمع الضلعين المتوازيين، واقسم الناتج على اثنين، واضربه في المسافة العمودية بينهما.
الارتفاع هنا ليس طول الضلع الجانبي، بل هو المسافة العمودية بين الضلعين المتوازيين. وإذا كان الضلع الجانبي مائلًا فالارتفاع أقصر منه.
ما الذي يجب الانتباه إليه عند القياس؟
- علّم نقاط الزوايا: حجر حدود، أو زاوية جدار، أو وتد. وقس كل طول بين النقطتين نفسيهما دائمًا.
- لا تنسَ القطر: في الأرض ذات الزوايا الأربع قطر واحد على الأقل، وفي الأرض ذات الزوايا الأكثر أقطار من زاوية واحدة إلى كل الزوايا المقابلة.
- أبقِ الشريط مستقيمًا ومشدودًا: الشريط المتدلي يُظهر الطول أكبر مما هو؛ وقس الضلع الطويل بتقسيمه بنقاط وسيطة.
- الأرض المنحدرة: المساحة في الخرائط والسجلات الرسمية تُحسب عادةً على المستوى الأفقي. إذا مددت الشريط على الأرض على طول المنحدر تخرج الأضلاع أطول قليلًا؛ فأبقِ الشريط أفقيًا.
- تحقّق: قس القطر الثاني أيضًا وقارن بين الطريقتين. إذا كان الفرق كبيرًا فأحد القياسات خاطئ.
مساحة الأرض في Nodaform
في خطوة الموقع في Nodaform ترسم الأرض زاوية بزاوية؛ وتُحسب المساحة والمحيط تلقائيًا من الزوايا.
- انقر على الزوايا بالترتيب: تلتصق الزوايا بالشبكة، ويثبّت Shift زاوية الضلع، ويمكنك كتابة طول الضلع. عند النقر على الزاوية الأولى تُغلق الأرض.
- التصحيح: اسحب الزوايا، وأضف زاوية جديدة بالنقطة التي في منتصف الضلع؛ وقارن أطوال الأضلاع في اللوحة بقياساتك.
- في اللوحة: عدد الزوايا، والمحيط، وطول كل ضلع، ومساحة الأرض؛ وعند رسم المنزل نسبة التغطية. وتظهر المسافات من المنزل إلى حدود القطعة فوق المخطط.
عندما تدير الهاتف أفقيًا يمكنك أيضًا وضع الزوايا باللمس. خطوة الموقع متاحة في كل الباقات، بما فيها Free.
هذه المقالة للمعلومات العامة. في البيع والشراء وسندات الملكية وشؤون التنظيم العمراني تُعتمد المساحة المسجلة رسميًا؛ وللمقاس الدقيق للأرض وحدودها راجع مهندس مساحة مرخّصًا أو الجهة المختصة.